Christoffel vectorを計量行列で表す

$ \pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}=\sum_k\frac12\bar{\pmb e}_k\left(\frac{\partial[\pmb I]^{\sf EE}_{jk}}{\partial \bar e_i}+\frac{\partial[\pmb I]^{\sf EE}_{ki}}{\partial \bar e_j}-\frac{\partial[\pmb I]^{\sf EE}_{ij}}{\partial \bar e_k}\right)

になる

導出

解1：cyclicに式を作って足し引きする

$ \frac{\partial[\pmb I]^{\sf EE}_{ij}}{\partial \bar e_k}=\frac{\partial\pmb e_i\cdot\pmb e_j}{\partial \bar e_k}=\pmb e_i\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}+\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ki}\cdot\pmb e_j

$ \frac{\partial[\pmb I]^{\sf EE}_{jk}}{\partial \bar e_i}=\pmb e_j\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}+\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}\cdot\pmb e_k

$ \frac{\partial[\pmb I]^{\sf EE}_{ki}}{\partial \bar e_j}=\pmb e_k\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ji}+\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\pmb e_i

$ \pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}\cdot\pmb e_k=\frac12\left(\frac{\partial[\pmb I]^{\sf EE}_{jk}}{\partial \bar e_i}+\frac{\partial[\pmb I]^{\sf EE}_{ki}}{\partial \bar e_j}-\frac{\partial[\pmb I]^{\sf EE}_{ij}}{\partial \bar e_k}\right)

$ \therefore\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}=\frac12\bar{\pmb e}_k\left(\frac{\partial[\pmb I]^{\sf EE}_{jk}}{\partial \bar e_i}+\frac{\partial[\pmb I]^{\sf EE}_{ki}}{\partial \bar e_j}-\frac{\partial[\pmb I]^{\sf EE}_{ij}}{\partial \bar e_k}\right)

$ =\frac12\bar{\pmb e}_k\left(\frac{\partial}{\partial \bar{e}_i}\pmb{e}_j\cdot\pmb{e}_k+\frac{\partial}{\partial \bar{e}_j}\pmb{e}_k\cdot\pmb{e}_i-\frac{\partial}{\partial \bar{e}_k}\pmb{e}_i\cdot\pmb{e}_j\right)

なお、導出では次元に依存した条件を用いていないため、この式は任意次元で成立する

解2：=の連鎖のみで書く

一般の導出を試みる

$ \frac{\partial[\pmb I]^{\sf EF}_{ij}}{\partial \bar g_k}=\frac{\partial\pmb e_i\cdot\pmb f_j}{\partial \bar g_k}=\pmb e_i\cdot\pmb\Gamma^{\sf GF}_{kj}+\pmb\Gamma^{\sf GE}_{ki}\cdot\pmb f_j

$ \frac{\partial[\pmb I]^{\sf FG}_{jk}}{\partial \bar e_i}=\pmb f_j\cdot\pmb\Gamma^{\sf EG}_{ik}+\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij}\cdot\pmb g_k

$ \frac{\partial[\pmb I]^{\sf GE}_{ki}}{\partial \bar f_j}=\pmb g_k\cdot\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ji}+\pmb\Gamma^{\sf FG}_{jk}\cdot\pmb e_i

$ \therefore\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij}=\frac12\bar{\pmb g}_k\left(\frac{\partial[\pmb I]^{\sf FG}_{jk}}{\partial \bar e_i}+\frac{\partial[\pmb I]^{\sf GE}_{ki}}{\partial \bar f_j}-\frac{\partial[\pmb I]^{\sf EF}_{ij}}{\partial \bar g_k}\right)

cyclicに変化することが維持されていれば、基底は任意で構わないようだ